■ 郭建康 苟玉

不等式是高中数学的重要内容，也是高考必考内容之一，因不等式证明题型变化多样，每年考的题型都不同，因此，不等式是教学难点之一。在教学过程中，教师要注意培养学生概括归纳的能力，提高学生运用代数变形、推理论证来解决问题的能力，激发对数学的学习兴趣。本文对不等式的知识结构、性质和比较法、综合法、反证法、分析法、数学归纳法、判别式法、三角换元法、构造法、放缩法等九种证明方法进行解析。

分析

1.1比较法

在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法。

常见的比较法有两种：(1)作差比较，依据为A-B>0A>B

(2)作商比较，依据为>1且B>0A>B

步骤：作差/作商à变形à断号/判断符号或比值1的大小à下结论。

1.2综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式。

1.3分析法

从求证的出发,逐步寻求使成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法。分析法的思路是“执果导因”,它与综合法是对立统一的两种方法。

1.4反证法

反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

反证法的原理或者步骤如下：

1.假设命题的结论不成立。

2.从这个结论出发,经过推理论证得出矛盾。

3.由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

即:提出假设—推出矛盾—肯定结论

1.5数学归纳法

与自然数有关的命题可试用数学归纳法。用数学归纳法证明不等式的关键在于假设n=k时不等式A>B成立，欲证n=k+1时不等式。

基本步骤：验证è假设 è证明。

1.6判别式法

利用一元二次方程(或二次三项式)的判别式来证明不等式的方法叫做判别式法。一般设： 当时，若则。

1.7三角换元法

因为是人们所熟知的三角不等式关系,有些代数不等式化成三角函数问题来解决会比较简洁。在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

1.8构造法

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

1.9放缩法

所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。 （作者系雅江县普巴绒乡小学 雅江县二完小教师）